do-skoly.cz  v.0.2.10

Nejmenší společný násobek: Teorie

Přehled definic a vzorců, způsobů výpočtu nejmenšího společného násobku a vyřešené ukázkové praktické úlohy. 

Obsah této stránky:

Nejmenší společný násobek (budeme používat zkratku nsn) čísel z libovolné množiny M je takové nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné všemi čísly z této množiny. V případě nsn dvojice čísel a, b tedy musíme najít takové číslo, které je celočíselným násobkem této dvojice čísel.

Hlavním využitím nsn je určení společného dělitele při základních operacích se zlomky, nicméně existuje i řada praktických úloh, ve kterých lze tento výpočet použít. Jedná se například o úlohy, ve kterých se hledá takový počet prvků, aby bylo možné je sestavovat v několika různých k-ticích - kupříkladu řazení žáků do skupin, stavba čtverce či obdélníku (krychle či kvádru) z různě velkých bloků; anebo úlohy kde, se hledá společný časový okamžik opětovného setkání prvků s různými parametry - třeba kdy se znovu setkají vozidla, jež vyrážela ve stejný okamžik, a každému z nich objetí celé trasy zabere jinou dobu.

Nejmenší společný násobek libovolného počtu čísel určíme např. s využitím prvočíselného rozkladu: Jedná se o součin všech prvočísel p v rozsahu od 1 do k, kde je exponent každého z prvočísel roven tomu nejvyššímu, který se nachází v rozkladu čísel a až n.

nsn(a,b, ... ,n) = k∏i = 1 pimax(ai,bi, ... ,ni)

Operace určování nsn je:

  • reflexivní: nsn(a, a) = a
  • asociativní: nsn(a, nsn(b, c)) = nsn(nsn(a, b), c)
  • komutativní: nsn(a, b) = nsn(b, a)

V kombinaci s určováním největšího společného dělitele (NSD) je také:

  • absorpční: nsn(a, NSD(a, b)) = a
  • distribuční: nsn(a, NSD(b, c)) = NSD(nsn(a, b), nsn(b, c))
    nsn(NSD(a, b), NSD(b, c), NSD(a, c)) = NSD(nsn(a, b), nsn(b, c), nsn(a, c))

Součin NSD a nsn dvojice čísel se rovná součinu těchto čísel:

  • NSD(a, b) * nsn(a, b) = a * b

Pro výpočet nejmenšího společného násobku existuje řada metod, z nichž však ty snadno pochopitelné jsou neefektivní a naopak. Zde si pro názornost ukážeme některé základní postupy z té první kategorie.

Zadání příkladu

nsn(6, 21, 63) = ?

Metoda prvočíselného rozkladu Tabulková metoda Metoda s využitím NSD

Tato metoda je založena na teorému, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně zapsat jako součin prvočísel.

Postup:

  1. každé z čísel rozložíme na součin prvočísel,
    Rozklad na prvočísla
    1. 6   =   2 * 3   =   21 * 31
    2. 21   =   3 * 7   =   31 * 71
    3. 63   =   3 * 3 * 7   =   32 * 71
  2. z těchto součinů poté postupně vybereme pouze nejvyšší mocniny všech obsažených prvočísel, a to pouze jednou,
    Označení nejvyšších mocnin
    1. 6   =   2 * 3   =   21 * 31
    2. 21   =   3 * 7   =   31 * 71
    3. 63   =   3 * 3 * 7   =   32 * 71

    Poznámka: Pokud se v prvočíselných rozkladech nachází nejvyšší mocniny vícekrát - zde např. číslo 7 u rozkladu čísel 21 a 63, započítává se do výsledku pouze jedna z těchto hodnot.

  3. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nejmenší společný násobek.
    Roznásobení a výsledek

    nsn(6, 21, 63)  =   2 * 3 * 3 * 7   =   21 * 32 * 71   =  126

Tabulkovou metodou lze vypočítat naráz nsn pro libovolný počet čísel, přičemž se jejich rozklad pomocí prvočísel provádí souhrnně.

Postup:

  1. Do prvního sloupce tabulky si od druhého řádku zapíšeme seznam čísel, u kterých zjišťujeme nsn.
    Zápis čísel pro určení nsn
    X
    6
    21
    63
  2. V každém kroku této metody hledáme nejmenší prvočíslo (2,3,5...), kterým lze celočíselně vydělit libovolné z daných čísel. Toto prvočíslo poté zapíšeme do prvního řádku tabulky a pod něj zapíšeme výsledky po celočíselném dělení (pokud je číslo tímto prvočíslem dělitelné), nebo čísla opíšeme. Takto postupujeme do té doby, dokud nejsou v posledním sloupci tabulky pouze jednotkové hodnoty.
    Průběh výpočtu - hledání nejmenších prvočísel
    X2
    ⇒
    		 X23
    ⇒
    		 X233
    ⇒
    		 X233 7 
    63 631 6311 63111
    2121 21217 212177 2121771
    6363 636321 6363217 63632171
  3. Čísla z prvního řádku na závěr roznásobíme a dostaneme nejmenší společný násobek.
    Roznásobení a výsledek

    nsn(6, 21, 63)  =   2 * 3 * 3 * 7   =  126

Tato metoda převádí problém určení nsn na problém určení největšího společného dělitele (NSD), který je početně snazší díky výrazné redukci násobení velkých čísel.

nsn(a,b) =
|a * b|
 
NSD(a,b)
⇔
|a|
 
NSD(a,b)
* |b|
⇔
|b|
 
NSD(a,b)
* |a|
Důležité upozornění

Pomocí tohoto vzorce lze vypočítat vždy pouze nsn dvojice čísel. Pokud hledáme nejmenší společný násobek většího počtu čísel, je nutné tuto metodu použít opakovaně - viz. výpočet vzorového příkladu níže dle vzorce:

nsn(a,b,c) =
|nsn(a,b) * c|
 
NSD(nsn(a,b), c)

Postup:

  1. nejprve si spočítáme NSD první dvojice čísel - tedy 6, 21
    NSD(6, 21) = 3
  2. největší společný dělitel dosadíme do vzorce a vypočítáme nsn(6, 21)
    Výpočet nsn první dvojice čísel
    nsn(6, 21) =
    6 * 21
     
    3
    =
    2 * 21
    =
    42
  3. poté si spočítáme NSD nejmenšího společného násobku první dvojice čísel a třetího čísla - tedy 42, 63
    NSD(42, 63) = 21
  4. a na závěr největší společný dělitel opět dosadíme do vzorce a vypočítáme nsn(42, 63)
    Závěrečný výpočet a výsledek
    nsn(42, 63) =
    42 * 63
     
    21
    =
    2 * 63
    =
    126

Jak již bylo zmíněno v úvodu, kromě úprav zlomků exituje i celá řada praktických úloh, které jsou založeny na určení nejmenšího společného násobku. Zde si uvedeme několik příkladů.

1 2 3 4 5

Mezi nejčastější použití nsn v každém případě patří problém nalezení společného dělitele dvou či více zlomků, a to při operaci sčítání nebo odečítání.

Zadání příkladu
2
 
6
+
1
 
3
-
3
 
11
= ?

Postup metodou prvočíselného rozkladu:

  1. každý z dělitelů rozložíme na součin prvočísel a označíme nejvyšší mocniny,
    Rozklad na prvočísla
    1. 6   =   2 * 3   =   21 * 31
    2. 3   =   3   =   31
    3. 11   =   11   =   111
  2. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nejmenší společný násobek dělitelů,
    Roznásobení a nalezení nsn

    nsn(6, 3, 11)  =   2 * 3 * 11   =   21 * 31 * 111   =  66

  3. nsn dosadíme do jmenovatele jednotlivých zlomků a dopočítáme čitatele.
    Dosazení a výsledek
    2
     
    6
    +
    1
     
    3
    -
    3
     
    11
    =
    (66 : 6) * 2
     
    66
    +
    (66 : 3) * 1
     
    66
    -
    (66 : 11) * 3
     
    66
    =
    22
     
    66
    +
    22
     
    66
    -
    18
     
    66
    =
    26
     
    66
    =
    13
     
    33

Dalším běžným využitím nsn je hledání takového počtu prvků, aby bylo možné je sestavovat v několika různých k-ticích beze zbytku.

Zadání příkladu

Na slavnostní večeři byl do restaurace, která má kapacitu maximálně 450 osob, pozván určitý počet významných hostů. Organizátor si během přípravy akce spočítal, že je možné místa k sezení u stolů uspořádat přesně po šesti, osmi, deseti, dvanácti či osmnácti, aniž by kdokoli z hostů zůstal osamocen anebo zbývalo u stolů volné místo. Kolik hostů bylo na slavnostní večeři pozváno?

Postup metodou prvočíselného rozkladu:

  1. počty míst k sezení u stolů rozložíme na součin prvočísel a označíme nejvyšší mocniny,
    Rozklad na prvočísla
    1. 6   =   2 * 3   =   21 * 31
    2. 8   =   2 * 2 * 2   =   23
    3. 10   =   2 * 5   =   21 * 51
    4. 12   =   2 * 2 * 3   =   22 * 31
    5. 18   =   2 * 3 * 3   =   21 * 32
  2. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nsn počtu míst k sezení všech variant velikostí stolů, což je také počet pozvaných hostů.
    Roznásobení a nalezení nsn

    nsn(6, 8, 10, 12, 18)  =   2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5   =   23 * 32 * 51   =360

Na slavnostní večeři bylo pozváno právě 360 hostů.

Výpočet nsn můžeme využít také u úloh, kde hledáme ideální rozměr čtverců nebo krychlí, do kterých chceme umisťovat jiné předměty pevně stanovených rozměrů.

Zadání příkladu

Hledáme nejmenší možnou velikost přepravního boxu (krychle), který musíme zcela zaplnit balíčky se vzorky kosmetiky tvaru kvádru o rozměrech 12cm, 17cm a 6cm. Jak bude přepravní box velký a kolik balíčků se do něho dá narovnat?

Postup metodou prvočíselného rozkladu:

  1. strany balíčků se vzorky kosmetiky rozložíme na součin prvočísel a označíme nejvyšší mocniny,
    Rozklad na prvočísla
    1. 12   =   2 * 2 * 3   =   22 * 31
    2. 17   =   17   =   171
    3. 6   =   2 * 3   =   21 * 31
  2. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nsn jednotlivých stran balíčků se vzorky kosmetiky, což se v tomto případě rovná hledané straně přepravního boxu,
    Roznásobení a nalezení strany krychle

    nsn(12, 17, 6)  =   2 * 2 * 3 * 17   =   22 * 31 * 171   =204 cm

    Poznámka: Aby měl přepravní box všechny strany stejné (tj. krychle), musí být jeho strana beze zbytku dělitelná všemi rozměry balíčku se vzorky kosmetiky.

  3. na závěr vypočítáme, kolik balíčků se vzorky kosmetiky se dá narovnat do jednoho přepravního boxu.
    Výpočet množství balíčků v přepravním boxu
    (204 : 12) * (204 : 17) * (204 : 6) = 17 * 12 * 34 =
    6936 kusů

Hledaný rozměr přepravního boxu ve tvaru krychle je 204cm, přičemž do něho můžeme narovnat právě 6936 kusů balíčků se vzorky kosmetiky.

Použití nsn je uplatňováno i v úlohách, kde hledáme nejmenší společný rozměr (např. výšku) různých prvků, který splňuje předem známá kritéria.

Zadání příkladu

Během kontroly pevnosti nových stavebních bloků od různých výrobců bylo nutné z nich vystavět sloupy o minimálním počtu 10 bloků a stejné celkové výšce, na nichž následně probíhaly testy. Bohužel výška bloků se u každého výrobce lišila. Bloky prvního výrobce byly vysoké 16cm, druhý výrobce udával výšku 18cm a stavební bloky třetího měly výšku 32cm. Jak vysoké sloupy bylo nutné vystavět, aby byly stejně vysoké a splňovaly kritérium minimálního počtu použitých bloků?

Postup metodou prvočíselného rozkladu:

  1. výšky stavebních bloků od všech tří výrobců rozložíme na součin prvočísel a označíme nejvyšší mocniny,
    Rozklad na prvočísla
    1. 16   =   2 * 2 * 2 * 2   =   24
    2. 18   =   2 * 3 * 3   =   21 * 32
    3. 32   =   2 * 2 * 2 * 2 * 2   =   25
  2. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nsn, což je v tomto případě minimální výška sloupu, který lze postavit z bloků od každého z výrobců,
    Roznásobení a nalezení nsn

    nsn(16, 18, 32)  =   2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3   =   25 * 32   =288 cm

  3. zkontrolujeme, jestli nsn splňuje kritérium minimálního počtu stavebních bloků,
    Výpočet množství použitých stavebních bloků
    1. 288 / 16   =   18
    2. 288 / 18   =   16
    3. 288 / 32   =   9

    Poznámka: Stavební bloky od třetího výrobce bohužel nesplňují kritérium minimálního počtu stavebních bloků, takže je nutné nsn znásobit, přičemž v tomto případě bude stačit nejmenší možný přirozený činitel 2.

  4. z důvodu nesplňění kritérií na závěr znásobíme nsn.
    Znásobení nsn a splnění kritérií
    288 * 2 =
    576

Minimální výška sloupů o stejné celkové výšce a s využitím alespoň 10 stavebních bloků je 576cm.

Posledním ze zde uváděných využití nsn je hledání společného okamžiku, kdy nebo po jakém úseku se opět shledají prvky, jež sice měly společný start, ale různé charakteristiky (rychlost, průměr, počet zastávek apod.).

Zadání příkladu

Trojice vozidel městské hromadné dopravy, kde každé z nich má naplánovanou jinou trasu městem, vyjíždí ze stanice ve stejnou chvíli. Autobusem trvá cesta 42 minut, tramvaj celou trasu projede za 28 minut a trolejbus za 36 minut. Po jaké době se trojice vozidel opět shledá v počáteční stanici a kolikrát mezitím trolejbus projede svou trasu?

Postup metodou prvočíselného rozkladu:

  1. jednotlivé časy vozidel rozložíme na součin prvočísel a označíme nejvyšší mocniny,
    Rozklad na prvočísla
    1. 42   =   2 * 3 * 7   =   21 * 31 * 71
    2. 28   =   2 * 2 * 7   =   22 * 71
    3. 36   =   2 * 2 * 3 * 3   =   22 * 32
  2. nejvyšší mocniny roznásobíme a dostaneme nsn časů nutných k projetí jejich tras, což se v tomto případě rovná okamžiku jejich opětovného setkání v počáteční stanici,
    Roznásobení a nalezení nsn

    nsn(42, 28, 36)  =   2 * 2 * 3 * 3 * 7   =   22 * 32 * 71   =252 minut

  3. na závěr vypočítáme, kolikrát trolejbus do opětovného setkání všech vozidel projede svou trasu.
    Výpočet průjezdů trolejbusu počáteční stanicí
    252 : 36 =
    7

Trojice vozidel se opětovně setká v počáteční stanici vždy za 252 minut (4 hodiny a 12 minut), přičemž trolejbus mezitím projede svou trasu právě 7 krát.

© 2012-2015 do-skoly.cz  |  Mapa webu  |  Zásady ochrany soukromí  |  Kontaktujte nás